ARITMÉTICA

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

El múltiplo de un número es aquel que contiene a éste un número exacto de veces.

Los múltiplos de un número se forman multiplicando este número por la serie infinita de los números naturales 0, 1, 2, 3...; luego todo número tiene infinitos múltiplos.

Ejemplo: la serie infinita de los múltiplos de 4 es:

0 x 4 = 0
1 x 4 = 4
2 x 4 = 8
3 x 4 = 12
4 x 4 = 16
4 x 5 = 20
4 x 6 = 24

4 x ... = (símbolo de infinito) n

Los múltiplos de 8 se obtienen así:

8 x 1  =  8
8 x 2 = 16
8 x 3 = 24
8 x 4 = 32
8 x 5 = 40

El cero no es considerado fundamental cuando se habla de múltiplos, pues se acepta que: los múltiplos contienen una o más veces al número propuesto, en general.

Ejemplos: 28 es múltiplo de 7, porque 28 contiene 4 veces al 7.

12 es múltiplo de 6 porque 12 contiene 2 veces al 6.

11 es múltiplo de 11, porque 11 contiene 1 vez al 11.

Como se observa el cero no puede considerarse múltiplo pues no contiene en ningún caso a los números naturales.

También entre los números naturales es posible encontrar, con cierta facilidad, sus múltiplos y submúltiplos (factores o divisores).

Los divisores o factores (submúltiplos de un número) son aquellos números naturales, diferentes de cero, que lo dividen exactamente.

Existen diversos métodos para encontrar los divisores de un número. Cuando los números son pequeños, pueden buscarse parejas de factores (tablas de multiplicar) o divisores que den como producto dicho número.

Si se sabe que 20 es múltiplo de 5, debe inferirse que 20 puede dividirse exactamente entre 5, esto es: 20 es divisible entre 5.

Ejemplos:

2 es divisor o factor de 8, porque 2 x 4 = 8
4 es divisor o factor de 28, porque 4 x 7 = 28
5 es divisor o factor de 30, porque 5 x 6 = 30

Como se observa, hay una estrecha relación entre los múltiplos y divisor o factor (submúltiplo):

2 es divisor de 8, entonces, 8 es múltiplo de 2
4 es divisor de 28, entonces 28 es múltiplo de 4.
5 es divisor de 30, entonces 30 es múltiplo de 5.

Ejemplos:

D (30) = 1, 2, 3, 5, 10, 15, 30.
Porque 1 x 30 = 30, 2 x 15 = 30, 3 x 10 = 30, 5 x 6 = 30, 10 x 3 = 30, 15 x 2 = 30 y 30 entre 1 = 30.

D (100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100.
Porque 1 x 100 = 100, 2 x 50 = 100, 4 x 25 = 100, 5 x 20 = 100, 10 x 10 = 100, 20 x 5 = 100, 25 x 4 = 100, 50 x 2 = 100 y 100 entre 1 =100

CRITERIOS DE DIVISIBILIDADE

Existen algunos números naturales que tienen ciertas características particulares. A muchos de ellos es posible identificarlos como múltiplos de otros números iguales o más pequeños. De aquí que sea sencillo diferenciar a los que son divisibles entre los números más usuales, y con ello determinar los criterios de divisibilidad.

Por ejemplo, los múltiplos de 2:

M (2) = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24...

Estos números también reciben el nombre de cifras pares.

Par 28 | 2 (se lee: 28 es divisible entre 2)
Par 70 | 2 (se lee: 70 es divisible entre 2)
Impar 45 | 2 (se lee: 45 no es divisible entre 2)

Otro ejemplo sería con el 3:

M(3) = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33...

Aquí se observa que las cifras que componen a cada número siempre que se sumen se obtendrá un múltiplo de 3. Si además la suma se reduce a una sola cifra, sumando nuevamente se obtendrá sólo alguno de los números 3, 6 o 9.

72 | 3 porque 7 + 2 = 9 y 9 es múltiplo de 3
57 | 3 porque 5 + 7 = 12 y 12 es múltiplo de 3
34 | 3 porque 3 + 4 = 7 y 7 no es múltiplo de 3

Criterio de la divisibilidad de 2

Un número natural es divisible entre 2 si su última cifra es 0, 2, 4, u 8 o su terminación es en cero o par.
Ejemplos:

500 es divisible entre 2 por terminar en 0.
844 es divisible entre 2 por terminar en número par.
977 no es divisible entre 2 por terminar en cifra impar.

Criterio de divisibilidad entre 3

Un número natural es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es divisible entre 3.
Ejemplos:

4452 se suman sus cifras 4 + 4 + 5 + 2 = 15
15 es divisible entre 3.

27 225 se suman sus cifras: 2 + 7 + 2 + 2 + 5 = 18
18 es divisible entre 3.

Criterio de divisibilidad entre 5

Un número natural es divisible entre 5 si su última cifra es 0 o 5.
Ejemplos:

45 | 5 porque 45 tiene el 5 en la cifra de las unidades.
70 | 5 porque 70 tiene el 0 en la cifra de las unidades.
51 | 5 porque 51 no tiene el 0 o el 5 en la cifra de las unidades.

Otros ejemplos:

40 320 sí es divisible porque termina en 0.
72 no es divisible porque es un número primo y termina en par.
593 no es divisible entre 5 porque no termina en 0 ni en 5.

Criterio de divisibilidad entre 7

Para determinar si un número es divisible entre 7, se sigue este procedimiento:

Se observa qué número se forma al quitar la última cifra del número.
Después, qué número se obtiene al duplicar la cifra que se quitó.
Se determina cuál es la diferencia entre los dos números así formados; si la diferencia es divisible entre 7, entonces el número original es divisible entre 7.

Ejemplos:

224 | 7 porque 22 4; 4 x 2 = 8; 22 – 8 = 14 que es múltiplo de 7.
5068 | 7 porque 506 8; 8 x 2 = 16; 506 – 16 = 490.

Como no se reconoce fácilmente si 490 es múltiplo de 7 se repite el procedimiento a partir de esta última cifra:

49 0; 0 x 2 = 0; 49 –0 = 49 que es múltiplo de 7.

718 | 7 porque 71 8; 8 x 2 = 16; 71 –16 = 55 que no es múltiplo de 7.
273 es divisible entre 7.

273 | 7 3 x 2 = 6; 27 – 6 = 21 y 21 es divisible entre 7.

Criterio de divisibilidad entre 9

Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es divisible entre 9.
Ejemplos:

171 | 9 porque 1 + 7 + 1 = 9
846 | 9 porque 8 + 4 + 6 = 18, que es múltiplo de 9.
118 no es divisible entre 9, porque 1 + 1 + 8 = 10 y no cumple con esta característica.
837 es divisible entre 9 porque la suma de sus cifras: 8 + 3 + 7 = 18, que es divisible entre 9.
45 853 es divisible entre 9, porque 4 + 7 + 8 + 5 + 3 = 27, es divisible entre 9.

Criterio de divisibilidad entre 10, si termina en 0

Ejemplo: 400 es divisible entre 10 por terminar en 0.
4 500 es divisible entre 10 por terminar en 0.

La división entre 10 puede efectuarse sacando décimas.

a) 400/10 = 40 b) 4500/10 = 450

En estos ejemplos se observa que para dividir entre 10 un número natural que termine en uno o más ceros, basta suprimir el último cero. Ejemplos:

560 entre 10 = 56
7 300 entre 10 = 73
3 280 entre 10 = 328
150 000 entre 10 000 = 15

ESTRUCTURA DE UN NÚMERO TERMINADO EN CEROS COMO EL
PRODUCTO DE UN NATURAL POR 10, 100 Y 1 000

Para multiplicar un entero por la unidad seguida de ceros se añaden al entero tantos ceros como ceros acompañen a la unidad.
Ejemplos:

25 x 100 = 2500
33 x 1 000 = 33 000

Multiplicación de dos números terminados en ceros

Se multiplican los números como si no tuvieran ceros y a la derecha de este producto se añaden tantos ceros como haya en el multiplicando y multiplicador.

4 300 x 25 000 = 107 500 000

Factorización trivial y total

La factorización que consiste en el producto del mismo número por la unidad se llama factorización trivial.

Todos los números naturales pueden factorizarse de esta manera, sin embargo, existen números naturales que pueden hacerlo de otra forma, además de la factorización trivial.

Ejemplos:

12 = 12 x 1 28 = 28 x 1 36 = 36 x 1 40 = 40 x 1
= 6 x 2 = 14 x 2 = 18 x 2 = 20 x 2
= 4 x 3 = 7 x 4 = 9 x 4 = 8 x 5

Aquellos números que solamente pueden factorizarse en forma trivial se llaman números primos.

El número 1 se considera un caso especial porque al factorizarlo resulta que: 1 = 1 x 1, como se observa es un número que tiene el mismo factor (el 1), razón por la cual se le llama unitario.

Los números que además de la factorización trivial tienen por lo menos otra factorización se llaman números compuestos.

Para identificar los números primos y los números compuestos, lo más práctico es buscar una forma personal de hacer tus inferencias para aplicar estos criterios.

Un procedimiento muy simple para factorizar un número natural, de manera total, consiste en formar un árbol, cuyo tronco sería el número que va a factorizarse y las ramas representarían las distintas parejas de factores en que puede descomponerse, tanto el tronco como las primeras ramas.

Fracciones 

Una fracción, en general, es la expresión de una cantidad dividida por otra, y una fracción propia representa las partes que tomamos de un todo

Si tomamos las 3 rosas, representan 3 porciones de las ocho en las que hemos dividido el queso, es decir   3 / 8  del queso,

y si tomamos las 5 verdes, representan 5 porciones de las ocho en las que hemos dividido el queso, es decir   5 / 8  del queso.

Las partes que tomamos ( 3 ó 5 ) se llaman   numerador  y las partes en que dividimos el queso  ( 8 ) denominador.

Para leer una fracción, el numerador se lee normalmente pero, como veremos a continuación, el denominador tiene una forma especial de leerse.

Denominador	Lectura	Ejemplos
2	medios	5 / 2 = cinco medios
3	tercios	2 / 3 = dos tercios
4	cuartos	3 / 4 = tres cuartos
5	quintos	4 / 5 = cuatro quintos
6	sextos	5 / 6 = cinco sextos
7	séptimos	6 / 7 = seis séptimos
8	octavos	7 / 8 = siete octavos
9	novenos	8 / 9 = ocho novenos
10	décimos	9 / 10 = nueve décimos
mayor de 10	Se agrega al número la terminación avos	10 / 11 = diez onceavos

Clasificación De Las Fracciones

Las fracciones se pueden clasificar de distintas formas; en la siguiente tabla se muestran las características de las más importantes.

Tipo	Características	Ejemplos
Propia	El numerador es menor que el denominador	1 / 2, 7 / 9
Impropia	El numerador es mayor que el denominador	4 / 3, 5 / 2
Homogéneas	Tienen el mismo denominador	2 / 5, 4 / 5
Heterogéneas	Tienen distinto denominador	3 / 7, 2 / 8
Entera	El numerador es igual al denominador; representan un entero	6 / 6 = 1
Equivalentes	Cuando tienen el mismo valor. Dos fracciones son equivalentes si son iguales sus productos cruzados	2 / 3 y 4 / 6 2 x 6 = 3 x 4

Si en una fracción multiplicamos o dividimos el numerador y el denominador por un mismo numero, obtenemos una fracción equivalente a la primera, pues ambas tienen el mismo valor. Por ejemplo:

1		(1 x 4)		4				3		(3 : 3)		1
—	=	———	=	—	=	0,5 ;		—	=	———	=	—	=	0,2
2		(2 x 4)		8				15		(15 : 3)		5

Simplificar o Reducir una fracción consiste en hallar la fracción equivalente más pequeña posible; para ello, lo primero que hacemos es buscar el mayor número que divide exactamente (resto = 0) al numerador y al denominador (mayor divisor común) y después dividimos el numerador y el denominador por este mayor divisor común, ya que como hemos visto antes, dividiendo el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número obtenemos una fracción equivalente (de igual valor).

Por ejemplo: Simplificar 30/42

Los números que dividen exactamente a 30 (divisores) son: 2, 3, 5, 6, 10 y 15.

Los números que dividen exactamente a 42 (divisores) son: 2, 3, 6, 7, 14 y 21.

Los divisores comunes a ambos son 2, 3 y 6. El mayor divisor común es 6, por tanto, dividimos numerador y denominador por 6.

30		30/6		5
——	=	———	=	—
42		42/6		7

Cuando en una fracción, el numerador y el denominador no tienen ningún divisor común, se dice que es una fracción irreducible.

Suma Y Resta De Fracciones

Si las fracciones tienen el mismo denominador (homogéneas), se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador.

Ejemplo:

3		2		(3 + 2)		5		5		2		(5 – 2)		3
—	+	—	=	———	=	—	;	—	–	—	=	———	=	—
6		6		6		6		7		7		7		7

Si las fracciones tienen distinto denominador (heterogéneas), lo primero que tenemos que hacer es igualar los denominadores. Para conseguirlo, buscamos dos fracciones equivalentes a las dadas, multiplicando el numerador y el denominador de cada una de ellas por el denominador de la otra. Una vez obtenido el mismo denominador, procedemos como en el caso anterior, sumamos los numeradores y ponemos el denominador común.

Ejemplo:

2		3		(2 x 7)		(3 x 5)		14		15		29
—	+	—	=	———	+	———	=	——	+	——	=	——
5		7		(5 x 7)		(7 x 5)		35		35		35

Multiplicación De Fracciones

El producto de varias fracciones es igual a otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores.

Ejemplo:

3		4		2		(3 x 4 x 2)		24			2
—	x	—	x	—	=	————	=	——	simplificando	=	—
4		5		3		(4 x 5 x 3)		60			5

Fracción De Un Número

Calcular la fracción de un número es lo mismo que multiplicar la fracción por ese número.

Ejemplo: Calcular los 2 / 3 de 60:

2				2				(2 x 60)		120
—	de	60	=	—	x	60	=	———	=	——	=	40
3				3				3		3

División De Fracciones

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y por denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

Ejemplo:

4		3		(4 x 5)		20
—	:	—	=	———	=	——
9		5		(9 x 3)		27