TRIGONOMÉTRIA

Circunferencia Trigonométrica y Radianes

 Si hacemos coincidir el centro de una circunferencia de radio unidad con el origen de coordenadas obtenemos la circunferencia trigonométrica (también llamada circunferencia geométrica), en la que el seno y el coseno de un ángulo vienen representados por la ordenada y por la abscisa, respectivamente. 

La circunferencia trigonométrica es una circunferencia de radio unidad en la que se inscriben los ángulos, con el vértice en su centro. También en su centro se ubica el origen de un sistema de coordenadas ortogonales (x, y). En la circunferencia trigonométrica se considera que los ángulos están orientados; se atribuye un signo al sentido de giro: si los ángulos se miden desde el eje x, crecen positivamente en sentido contrario al de las agujas del reloj. Por lo tanto, si se miden en sentido horario, los ángulos serán negativos. 

La razón del valor uno es por simple comodidad, es mas fácil deducir los valores de las funciones trigonométricas a partir de un valor simple como uno (el único valor más simple que 1 es cero, pero el cero no aplica en este caso), así que se toma este por hacer las cosas mas fáciles y poder deducir los valores de manera sencilla.

                                              
                                     

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo con el eje X, las principales funciones trigonométricas se puede definir como valores de segmentos  asociados a triángulos rectángulosauxiliares, de la siguiente manera:

El seno es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

                                                        

y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene valor = 1, se deduce:

                                                       

El coseno es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

                                                        
y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:
                                                       

La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:  

                                                        

A continuacion esta la grafica de los angulos mas comunes y las coordenadas sobre la circunferencia trigonometrica:

 

 Radian: Representa el ángulo central en una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad. A continuacion con la siguiente grafica la teoria sera mucho mas facil de entender: 

Ahora que tenemos claro lo que es un radian, ahora la siguiente pregunta seria ¿Cuanto equivale un radian?.A continuacion su valor es expresado en una grafica:

 Ahora que ya tenemos claro el concepto de un radian y a cuanto equivale, pasaremos a definir las formulas para convertir grados a radianes y viceversa.
Para convertir de grados a radianes, el valor dado en grados debe ser multiplicado por π y dividido para 180 grados. Ejemplo

    Pasar 150 grados a radianes:

150°× π/180° = 2.62 rad

Para convertir de grados a radianes, el valor dado en radianes debe ser multiplicado por 180 grados y dividido para π. Ejemplo

Pasar 0.5rad a grados:

0.5rad × 180°/π = 28.65°

GEOMETRÍA

ÁNGULOS

Tipos de ángulos	Descripción
Ángulo agudo	un ángulo de menos de 90°
Ángulo recto	un ángulo de 90°
Ángulo obtuso	un ángulo de más de 90° pero menos de 180°
Ángulo llano	un ángulo de 180°
Ángulo reflejo o cóncavo	un ángulo de más de 180°

TEOREMA DE THALES

Te cuento que hace muchos años un señor conocido como Thales de Mileto pudo calcular la altura de la pirámide de Keops sin medirla directamente. ¿Cómo lo habrá logrado?... En un viaje a Egipto midió, en forma indirecta, la altura de la pirámide de Keops. Con sólo  medir la longitud de un bastón, la sombra de éste y la sombra de la pirámide, planteó la proporción que le permitió calcular la altura inaccesible:

             altura pirámide      =    longitud bastón 
             Sombra pirámide          sombra bastón

PRIMER TEOREMA:
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo B´C´, a uno de los lados del triángulo se obtiene otro triángulo AB´C´, cuyos lados son proporcionales a los triángulos ABC.
Lo que se traduce en la fórmula:

"Si tres o más paralelas son cortadas por dos o más secantes, la razón de las longitudes de los segmentos determinados en una de las paralelas, es igual a la razón de las longitudes de los segmentos correspondiente determinados por las otras paralelas"
  

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la longitud de x.

2.Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?



Sí, porque se cumple el teorema de Thales.



3. aHallar las medidas de los segmentos a y b.



4. Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.



NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

A = {... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

|−a| = a

|a| = a

CRITERIOS PARA ORDENAR LOS NÚMEROS ENTEROS

1. Todo número negativo es menor que cero.

−7 < 0

2.Todo número positivo es mayor que cero.

7 > 0

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

−7 >− 10             |−7| < |−10|

4.De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

10 > 7             |10| > |7|

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

1. Interna:

a + b  

3 + (−5)  

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

5 − 5 = 2 + (− 2)

0 = 0

3. Conmutativa:

a + b = b + a

2 + (− 5) = (− 5) + 2

− 3 = − 3

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

(−5) + 0 = − 5

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

−(−5) = 5

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

PROPIEDADES DE LA RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

1.Interna:

a − b  

10 − (−5)  

2. No es Conmutativa:

a - b ≠ b - a

5 − 2 ≠ 2 − 5

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = − 10

(−2) · 5 = − 10

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

1. Interna:

a · b  

2 · (−5)  

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

-30 = -30

3. Conmutativa:

a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2

-10 = -10

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

(−5)· 1 = (−5)

5. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 - 10

-16 = -16

6. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = − 2

(−10) : 5 = − 2